ماتریس ها در NumPy

ماتریس ها در NumPy آرایه های دو بعدی هستند که برای ذخیره و دستکاری داده های عددی به صورت منظم و ساختاریافته استفاده می شوند. آنها ابزاری قدرتمند برای محاسبات ریاضی، حل معادلات خطی، و تجزیه و تحلیل داده ها هستند.

تعریف ماتریس:

• می توانید از تابع np.array() با مشخص کردن ابعاد و داده های اولیه برای ایجاد ماتریس استفاده کنید:

import numpy as np

# ایجاد ماتریس 2x3 با مقادیر تصادفی
matrix = np.random.rand(2, 3)
print(matrix)

• می توانید از لیست های لیست برای مقادیر اولیه ماتریس استفاده کنید:

import numpy as np

# ایجاد ماتریس 2x3 با مقادیر دلخواه
matrix = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])
print(matrix)

نمایش ماتریس:

• می توانید از تابع print() یا np.array_repr() برای نمایش کامل ماتریس استفاده کنید:

import numpy as np

matrix = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])

print(matrix)  # نمایش کامل ماتریس
print(np.array_repr(matrix))  # نمایش کامل ماتریس با جزئیات بیشتر

• می توانید از اسلایس ها برای نمایش زیرمجموعه های ماتریس استفاده کنید:

print(matrix[0, :])  # نمایش سطر اول
print(matrix[:, 2])  # نمایش ستون سوم
print(matrix[::2, ::2])  # نمایش عناصر با گام 2 در هر دو بعد

دسترسی به عناصر ماتریس:

• می توانید از اندیس گذاری مبتنی بر صفر برای دسترسی به عناصر ماتریس استفاده کنید:

import numpy as np

matrix = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])

value1 = matrix[0, 1]  # دسترسی به عنصر در سطر اول، ستون دوم
value2 = matrix[1, :]  # دسترسی به تمام عناصر در سطر دوم
print(value1, value2)

• می توانید از اسلایس ها برای دسترسی به زیرمجموعه های عناصر ماتریس استفاده کنید:

row1 = matrix[0, :]  # دسترسی به تمام عناصر در سطر اول
column2 = matrix[:, 1]  # دسترسی به تمام عناصر در ستون دوم
diagonal = matrix.diagonal()  # دسترسی به عناصر قطر اصلی
print(row1, column2, diagonal)

جمع آوری ماتریس:

• می توانید از توابع NumPy مانند np.hstack(), np.vstack(), np.concatenate() برای ترکیب ماتریس ها به صورت افقی، عمودی یا با ابعاد دلخواه استفاده کنید.

import numpy as np

matrix1 = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

matrix2 = np.array([
    [5, 6],
    [7, 8]
])

# ترکیب افقی ماتریس ها
matrix_hstacked = np.hstack((matrix1, matrix2))
print(matrix_hstacked)

# ترکیب عمودی ماتریس ها
matrix_vstacked = np.vstack((matrix1, matrix2))
print(matrix_vstacked)

# ترکیب ماتریس ها با ابعاد دلخواه
matrix_concatenated = np.concatenate((matrix1, matrix2), axis=1)  # ترکیب در امتداد محور 1
print(matrix_concatenated)

نکات:

• برای ماتریس های بزرگ، می توانید از توابع NumPy مانند np.savetxt() و np.loadtxt() برای ذخیره و بارگذاری ماتریس ها از فایل های متنی استفاده کنید.
• کتابخانه های شخص ثالث مانند scipy.sparse برای کار با ماتریس های پراکنده که تعداد زیادی عنصر 0 دارند، در دسترس هستند.
• با تسلط بر ماتریس ها در NumPy، می توانید محاسبات ماتریسی پیچیده را به طور کارآمد انجام داده و مسائل مختلف ریاضی و مهندسی را حل کنید.

در اینجا مثالی جامع از ماتریس ها در NumPy آورده شده است که شامل ایجاد، نمایش، دسترسی، جمع آوری و عملیات ماتریسی است:

فرض کنید می خواهید سیستم معادلات خطی زیر را حل کنید:

2x + 3y = 7
4x + 5y = 13

مراحل حل:

1. ایجاد ماتریس ضرایب و بردار ثابت:

import numpy as np

# ماتریس ضرایب
A = np.array([
    [2, 3],
    [4, 5]
])

# بردار ثابت
b = np.array([7, 13])

2. نمایش ماتریس ها:

print("ماتریس ضرایب:")
print(A)

print("بردار ثابت:")
print(b)

3. حل سیستم معادلات خطی با استفاده از معکوس ماتریس:

# محاسبه معکوس ماتریس ضرایب
A_inverse = np.linalg.inv(A)

# حل سیستم معادلات خطی
x = np.dot(A_inverse, b)

print("حل سیستم معادلات خطی:")
print(x)

4. بررسی صحت پاسخ:

# جایگزینی x در معادلات اصلی
y1 = 2 * x[0] + 3 * x[1]
y2 = 4 * x[0] + 5 * x[1]

print("بررسی صحت پاسخ:")
print("y1 =", y1)
print("y2 =", y2)

توضیح:

• در این مثال، ماتریس A ماتریس ضرایب سیستم معادلات خطی را نشان می دهد و بردار b بردار ثابت را نشان می دهد.
• از تابع np.linalg.inv() برای محاسبه معکوس ماتریس A استفاده می شود.
• از عمل ضرب ماتریس (np.dot()) برای حل سیستم معادلات خطی با استفاده از معکوس ماتریس و بردار ثابت استفاده می شود.
• در نهایت، پاسخ ها (x) در معادلات اصلی جایگزین می شوند تا صحت آنها بررسی شود.

نکات:

• این مثال فقط یکی از کاربردهای ماتریس ها در NumPy است. از ماتریس ها می توان برای انجام انواع مختلف عملیات ماتریسی مانند ضرب ماتریس، انتقال ماتریس، محاسبه دترمینان و مقادیر ویژه استفاده کرد.
• کتابخانه های شخص ثالث مانند scipy.linalg توابع پیشرفته تری برای حل سیستم های معادلات خطی، محاسبه مقادیر ویژه و تجزیه ماتریس ارائه می دهند.
• با تسلط بر ماتریس ها و عملیات ماتریسی در NumPy، می توانید طیف گسترده ای از مسائل ریاضی و مهندسی را حل کنید.

امیدوارم این مثال جامع به شما در درک و استفاده از ماتریس ها در NumPy کمک کند.