شبیه سازی و مدل سازی علمی با NumPy

NumPy، کتابخانه‌ای برجسته برای محاسبات عددی در پایتون، نقشی حیاتی در شبیه سازی و مدل‌سازی پدیده‌های علمی ایفا می‌کند. این کتابخانه به واسطه ارائه ابزارهای قدرتمند و کارآمد، به دانشمندان و محققان امکان می‌دهد تا مدل‌های پیچیده علمی را به طور دقیق و کارآمد شبیه‌سازی کنند.

قابلیت‌های کلیدی NumPy برای شبیه‌سازی و مدل‌سازی علمی:

• ساختارهای داده آرایه: NumPy آرایه‌های چندبعدی کارآمدی را برای ذخیره‌سازی و دستکاری داده‌های شبیه‌سازی‌شده ارائه می‌دهد. این ساختارها به شما امکان می‌دهند تا داده‌های خود را به طور سازمان‌یافته و کارآمد ذخیره و به آنها دسترسی داشته باشید، که برای مدیریت حجم بالای داده‌های شبیه‌سازی‌شده ضروری است.
• توابع ریاضی: NumPy طیف گسترده‌ای از توابع ریاضی مانند توابع مثلثاتی، توابع هایپرپولیک، توابع ماتریسی و توابع تصادفی را ارائه می‌دهد. این توابع برای انجام محاسبات لازم جهت شبیه‌سازی مدل‌های علمی شما، از جمله حل معادلات دیفرانسیل پیچیده و محاسبات ماتریسی، حیاتی هستند.
• توانایی‌های ماتریسی: NumPy از عملیات ماتریسی مانند ضرب ماتریس، جمع، تفریق، جابجایی و معکوس ماتریس پشتیبانی می‌کند. این عملیات برای حل معادلات دیفرانسیل، مدل‌سازی سیستم‌های دینامیکی و انجام سایر محاسبات مربوط به ماتریس که در شبیه‌سازی‌های علمی رایج هستند، بسیار مفید هستند.
• تولید اعداد تصادفی: NumPy توابعی برای تولید اعداد تصادفی از توزیع‌های مختلف مانند توزیع یکنواخت، توزیع نرمال و توزیع گاما ارائه می‌دهد. این توابع برای شبیه‌سازی فرآیندهای تصادفی و مدل‌سازی عدم قطعیت در سیستم‌های علمی، که an integral part of many scientific models, نقشی اساسی ایفا می‌کنند.

مزایای استفاده از NumPy برای شبیه سازی و مدل سازی علمی:

• سرعت و کارایی: NumPy از الگوریتم‌های بهینه‌سازی‌شده برای محاسبات عددی استفاده می‌کند که آن را به ابزاری سریع و کارآمد برای شبیه‌سازی‌های پیچیده تبدیل می‌کند. این امر به شما امکان می‌دهد تا مدل‌های خود را به سرعت اجرا کنید و نتایج را به موقع بدست آورید.
• دقت: NumPy محاسبات را با دقت بالا انجام می‌دهد که برای اطمینان از صحت و قابل‌اعتماد بودن نتایج شبیه‌سازی شما ضروری است.
• انعطاف‌پذیری: NumPy طیف گسترده‌ای از توابع و ابزارها را برای طیف وسیعی از وظایف مربوط به شبیه‌سازی ارائه می‌دهد. این انعطاف‌پذیری به شما امکان می‌دهد تا مدل‌های خود را به طور دقیق و متناسب با نیازهایتان طراحی کنید.
• یکپارچه‌سازی: NumPy به طور یکپارچه با سایر کتابخانه‌های علمی محبوب مانند SciPy و Matplotlib کار می‌کند. این امر به شما امکان می‌دهد تا از مجموعه ابزارهای قدرتمندی برای پیش‌پردازش داده، تجزیه و تحلیل و گرافیکی کردن نتایج شبیه‌سازی خود بهره‌مند شوید.

کاربردهای NumPy در شبیه سازی و مدل سازی علمی:

• مدل‌سازی فیزیکی: شبیه‌سازی حرکت سیارات، معادلات سیالات، انتشار گرما و سایر پدیده‌های فیزیکی.
• مدل‌سازی شیمیایی: شبیه‌سازی واکنش‌های شیمیایی، دینامیک مولکولی و فرآیندهای انتشار.
• مدل‌سازی بیولوژیکی: شبیه‌سازی جمعیت، شیوع بیماری، مدل‌های ژنتیکی و فرآیندهای تکاملی.
• مدل‌سازی مهندسی: شبیه‌سازی مدارهای الکتریکی، سیستم‌های کنترل، مدل‌های سازه‌ای و فرآیندهای انتقال حرارت.

NumPy به عنوان یک ابزار قدرتمند و همه‌کاره، به شما امکان می‌دهد تا مدل‌های علمی پیچیده‌ای را با دقت و کارایی شبیه‌سازی کنید.

dx/dt = v_x
dy/dt = v_y
dv_x/dt = -g
dv_y/dt = -g

import numpy as np

# پارامترهای شبیه سازی
g = ۹.۸۱  # m/s^2
dt = ۰.۰۱  # s
t_max = ۱۰.۰  # s

# شرایط اولیه
x0 = ۰.۰  # m
y0 = ۰.۰  # m
v0x = ۱۰.۰  # m/s
v0y = ۵.۰  # m/s

# آرایه ها برای ذخیره مقادیر در طول زمان
t = np.arange(۰.۰, t_max, dt)
x = np.zeros_like(t)
y = np.zeros_like(t)
v_x = np.zeros_like(t)
v_y = np.zeros_like(t)

# شرایط اولیه را وارد کنید
x[۰] = x0
y[۰] = y0
v_x[۰] = v0x
v_y[۰] = v0y

for i in range(۱, len(t)):
    # محاسبه مشتقات
    dxdt = v_x[i - ۱]
    dydt = v_y[i - ۱]
    dvxdt = -g
    dvydt = -g

    # به روز رسانی مقادیر
    x[i] = x[i - ۱] + dxdt * dt
    y[i] = y[i - ۱] + dydt * dt
    v_x[i] = v_x[i - ۱] + dvxdt * dt
    v_y[i] = v_y[i - ۱] + dvydt * dt

import matplotlib.pyplot as plt

# رسم نمودار موقعیت در مقابل زمان
plt.plot(t, x, label='x(t)')
plt.plot(t, y, label='y(t)')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('موقعیت (m)')
plt.title('موقعیت ذره در مقابل زمان')
plt.legend()
plt.show()

# رسم نمودار سرعت در مقابل زمان
plt.plot(t, v_x, label='v_x(t)')
plt.plot(t, v_y, label='v_y(t)')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('سرعت (m/s)')
plt.title('سرعت ذره در مقابل زمان')
plt.legend()
plt.show()

مثال: شبیه سازی مدل SIR با NumPy

در این مثال، نحوه استفاده از NumPy برای شبیه سازی مدل SIR را نشان می دهیم. مدل SIR یک مدل ریاضی برای شبیه سازی انتشار بیماری های عفونی در جمعیت است. این مدل سه دسته از افراد را در نظر می گیرد:

• S (حساس): افراد مستعد ابتلا به بیماری
• I (بیمار): افراد آلوده به بیماری
• R (ایمن): افراد بهبود یافته از بیماری و در برابر عفونت ایمن

مراحل:

1. معادلات را تعریف کنید:

معادلات دیفرانسیل که مدل SIR را توصیف می کنند، به صورت زیر هستند:

dS/dt = -βSI
dI/dt = βSI - γI
dR/dt = γI

در اینجا، S، I و R تعداد افراد در هر دسته، β نرخ انتقال بیماری، و γ نرخ بهبودی از بیماری است.

2. پارامترها را مقداردهی کنید:

import numpy as np

# پارامترهای مدل
N = ۱۰۰۰  # جمعیت کل
β = ۰.۲  # نرخ انتقال
γ = ۰.۱  # نرخ بهبودی

# شرایط اولیه
S0 = N - ۱  # افراد حساس اولیه
I0 = ۱  # افراد بیمار اولیه
R0 = ۰  # افراد ایمن اولیه

# آرایه ها برای ذخیره مقادیر در طول زمان
t = np.arange(۰.۰, ۱۰۰.۰, ۰.۱)
S = np.zeros_like(t)
I = np.zeros_like(t)
R = np.zeros_like(t)

# شرایط اولیه را وارد کنید
S[۰] = S0
I[۰] = I0
R[۰] = R0

3. حل معادلات با استفاده از روش اویلر:

for i in range(۱, len(t)):
    # محاسبه مشتقات
    dSdt = -β * S[i - ۱] * I[i - ۱]
    dIdt = β * S[i - ۱] * I[i - ۱] - γ * I[i - ۱]
    dRdt = γ * I[i - ۱]

    # به روز رسانی مقادیر
    S[i] = S[i - ۱] + dSdt * ۰.۱
    I[i] = I[i - ۱] + dIdt * ۰.۱
    R[i] = R[i - ۱] + dRdt * ۰.۱

4. نمایش نتایج:

import matplotlib.pyplot as plt

# رسم نمودار S, I, R در مقابل زمان
plt.plot(t, S, label='S(t)')
plt.plot(t, I, label='I(t)')
plt.plot(t, R, label='R(t)')
plt.xlabel('t (روز)')
plt.ylabel('تعداد افراد')
plt.title('مدل SIR')
plt.legend()
plt.show()

این کد NumPy را برای شبیه سازی مدل SIR و نمایش تعداد افراد در هر دسته (S, I, R) در طول زمان نشان می دهد.

توجه: این یک مثال ساده از شبیه سازی مدل اپیدمیولوژیک با NumPy است. می توان از NumPy برای شبیه سازی مدل های پیچیده تر با معادلات دیفرانسیل و پارامترهای بیشتر استفاده کرد.