قانون جمع در نظریه احتمال: شرح مفصل با مثال
مقدمه
در چارچوب نظریه احتمال، قانون جمع مبنای محاسبه احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مستقل را فراهم می‌کند. این قانون بیان می‌کند که احتمال وقوع حداقل یکی از این رویدادها، برابر با مجموع احتمال وقوع هر یک از آنها به تنهایی، منهای احتمال وقوع هر دوی آنها به طور همزمان است.
فرمول
قانون جمع را می‌توان با فرمول زیر نشان داد:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
در این فرمول:
- P(A ∪ B) احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای A یا B است.
- P(A) احتمال وقوع رویداد A است.
- P(B) احتمال وقوع رویداد B است.
- P(A ∩ B) احتمال وقوع هر دوی رویدادهای A و B به طور همزمان است.
تفسیر
قانون جمع بر مبنای این ایده است که برای محاسبه احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مستقل، باید موارد زیر را در نظر گرفت:
- احتمال وقوع هر رویداد به تنهایی: این مقادیر نشان می‌دهند که بدون در نظر گرفتن وقوع رویداد دیگر، احتمال وقوع هر کدام از رویدادها چقدر است.
- احتمال وقوع هر دو رویداد به طور همزمان: این مقدار احتمال وقوع هر دو رویداد در یک “اتحاد” را نشان می‌دهد.
با در نظر گرفتن این موارد، قانون جمع از شمردن احتمال وقوع هر رویداد به تنهایی (بدون احتساب همزمانی) و کسر احتمال وقوع هر دو به طور همزمان، احتمال وقوع حداقل یکی از آنها را به دست می‌دهد.
مثال:
فرض کنید سکه‌ای عادلانه را دو بار پرتاب می‌کنیم. احتمال اینکه در یکی از پرتاب‌ها، سکه رو بیاید چقدر است؟
در این مثال، A رویداد “آمدن رو” در پرتاب اول و B رویداد “آمدن رو” در پرتاب دوم است.
از آنجا که پرتاب‌ها مستقل هستند، P(A ∩ B) = P(رو) × P(رو) = 1/۴ × ۱/۴ = 1/۱۶
همچنین، P(A) = P(B) = 1/2 (احتمال آمدن هر کدام از وجوه سکه در هر پرتاب ۱/۲ است).
بنابراین، طبق قانون جمع:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 – 1/16 = 3/4
بنابراین، احتمال اینکه در یکی از پرتاب‌ها، سکه رو بیاید ۳/۴ است.
کاربردها
قانون جمع کاربردهای فراوانی در زمینه‌های مختلف آمار و احتمال دارد، از جمله:
- محاسبه احتمال وقوع یک رویداد خاص در یک آزمایش تصادفی
- تعیین احتمال وقوع یک نتیجه خاص در یک فرایند چند مرحله‌ای
- تحلیل داده‌های مربوط به رویدادهای تصادفی
نتیجه‌گیری
قانون جمع به عنوان یکی از اصول بنیادی در نظریه احتمال، ابزاری کارآمد برای محاسبه احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مستقل به شمار می‌رود. درک عمیق این قانون و کاربردهای آن، زمینه‌ای را برای حل مسائل مختلف در حوزه‌های مختلف آمار و احتمال فراهم می‌کند.
