آمار و احتمال (Statistics and Probability)

آمار و احتمال: مروری جامع بر مفاهیم و کاربردها

مقدمه:

آمار و احتمال، دو رشته بنیادی در ریاضیات هستند که به بررسی داده‌ها و عدم قطعیت‌ها می‌پردازند. این دو علم به طور هم‌افزا در طیف گسترده‌ای از زمینه‌ها، از جمله علوم، تجارت، امور مالی، دولت و مهندسی، کاربرد دارند.

مفاهیم کلیدی در آمار:

• متغیر: ویژگی‌ای که می‌توان مقادیر مختلفی برای آن در نظر گرفت. متغیرها می‌توانند کیفی (مانند جنسیت) یا کمی (مانند قد) باشند.
• داده: مجموعه‌ای از مقادیر اندازه‌گیری شده برای یک یا چند متغیر.
• جمعیت: کل مجموعه‌ای که از آن نمونه‌گیری می‌کنیم.
• نمونه: زیرمجموعه‌ای از جمعیت که برای مطالعه کل جمعیت انتخاب می‌شود.
• میانگین: مجموع مقادیر تمام داده‌ها، تقسیم بر تعداد داده‌ها.
• میانه: مقداری که نیمی از داده‌ها از آن کوچکتر و نیمی از آنها بزرگتر هستند.
• انحراف معیار: میزان پراکندگی داده‌ها حول میانگین.
• توزیع فراوانی: جدولی که تعداد دفعات مشاهده هر مقدار از یک متغیر را نشان می‌دهد.
• تجزیه و تحلیل رگرسیون: روشی برای مطالعه رابطه بین دو یا چند متغیر.
• آزمون فرضیه: روشی برای تعیین اینکه آیا یک ادعای خاص در مورد جمعیت درست است یا خیر.

مفاهیم کلیدی در احتمال:

• فضای نمونه: مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی.
• رویداد: زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه.
• احتمال: احتمال وقوع یک رویداد.
• قانون احتمال کلی: احتمال وقوع یک رویداد برابر است با مجموع احتمالات وقوع هر یک از زیرمجموعه‌های آن که با هم ناسازگار هستند.
• قانون ضرب: احتمال وقوع دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمال وقوع هر یک از آنها.
• قانون جمع: احتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات وقوع هر یک از آنها.
• توزیع احتمال: جدولی که احتمال وقوع هر مقدار از یک متغیر تصادفی را نشان می‌دهد.
• متغیر تصادفی: متغیری که مقادیر آن به طور تصادفی تعیین می‌شود.

کاربردهای آمار و احتمال:

• علوم: در علوم، از آمار و احتمال برای طراحی آزمایش‌ها، تجزیه و تحلیل داده‌ها و استخراج نتیجه‌گیری استفاده می‌شود.
• تجارت: در تجارت، از آمار و احتمال برای تجزیه و تحلیل داده‌های فروش، پیش‌بینی تقاضا، مدیریت ریسک، و تصمیم‌گیری آگاهانه استفاده می‌شود.
• مالی: در امور مالی، از آمار و احتمال برای قیمت‌گذاری اوراق بهادار، مدیریت سبد سهام، ارزیابی ریسک، و مدل‌سازی مالی استفاده می‌شود.
• دولت: در دولت، از آمار و احتمال برای سرشماری، نظرسنجی، مطالعه جرم و جنایت، و تدوین سیاست‌های عمومی استفاده می‌شود.
• مهندسی: در مهندسی، از آمار و احتمال برای کنترل کیفیت، طراحی آزمایش، تجزیه و تحلیل داده‌ها، و حل مسائل مهندسی استفاده می‌شود.