احتمال شرطی در آمار و احتمال
احتمال شرطی مفهومی بنیادی در آمار و احتمال است که به احتمال وقوع یک رویداد A با دانستن وقوع رویداد B اشاره دارد. به عبارت دیگر، احتمال شرطی بیان می‌کند که اگر می‌دانیم B رخ داده است، چقدر احتمال دارد که A نیز رخ دهد.
مثال:
فرض کنید سکه‌ای داریم که احتمال آمدن شیر روی آن ۵۰% است. حال اگر می‌دانیم که حداقل یک طرف سکه شیر آمده است، احتمال اینکه هر دو طرف سکه شیر باشد چقدر است؟
در این مثال، A = هر دو طرف سکه شیر باشد و B = حداقل یک طرف سکه شیر باشد.
با استفاده از تعریف احتمال شرطی، می‌توانیم احتمال P(A|B) را به صورت زیر محاسبه کنیم:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
در این معادله:
- P(A ∩ B) = احتمال وقوع همزمان A و B
- P(B) = احتمال وقوع B
در مثال سکه، P(A ∩ B) = 1/4 (احتمال آمدن دو شیر) و P(B) = 3/4 (احتمال آمدن حداقل یک شیر) است.
بنابراین:
P(A|B) = 1/4 / 3/4 = 1/3
پس با دانستن اینکه حداقل یک طرف سکه شیر آمده است، احتمال اینکه هر دو طرف سکه شیر باشد ۱/۳ است.
کاربردهای احتمال شرطی:
احتمال شرطی در بسیاری از زمینه‌ها از جمله:
- آمار: در برآورد پارامترها و انجام آزمون‌های فرض
- یادگیری ماشین: در طبقه‌بندی و پیش‌بینی
- رباتیک: در ناوبری و تصمیم‌گیری
- زندگی روزمره: در قضاوت و تصمیم‌گیری بر اساس شواهد
قضیه بیز:
قضیه بیز یکی از مهم‌ترین کاربردهای احتمال شرطی است. این قضیه فرمولی برای به روز رسانی احتمالات ارائه می‌دهد. به عنوان مثال، فرض کنید که شما یک مدل آماری برای پیش‌بینی نوع یک گل دارید. با مشاهده اطلاعات جدید، می‌توانید از قضیه بیز برای به روز رسانی احتمال اینکه گل از نوع خاصی باشد استفاده کنید.
مثال:
فرض کنید که مدلی آماری برای پیش‌بینی نوع یک گل دارید که بر اساس رنگ گل عمل می‌کند. این مدل به شما می‌گوید که احتمال اینکه گلی با رنگ قرمز نوع A باشد ۷۰% است. حال اگر گلی با رنگ قرمز ببینید که بوی گل رز می‌دهد، می‌توانید از قضیه بیز برای به روز رسانی احتمال اینکه این گل نوع A باشد استفاده کنید.
محاسبه احتمال شرطی:
دو روش اصلی برای محاسبه احتمال شرطی وجود دارد:
- استفاده از تعریف: همانطور که در مثال سکه نشان داده شد، می‌توان از تعریف احتمال شرطی برای محاسبه P(A|B) استفاده کرد.
- استفاده از جدول‌های احتمال: اگر از جدول‌های احتمال برای نشان دادن احتمال رویدادها استفاده می‌کنید، می‌توانید از این جداول برای محاسبه P(A|B) نیز استفاده کنید.
منابع:
