قانون ضرب در آمار و احتمال
قانون ضرب در آمار و احتمال، که به آن قانون ضرب احتمالات نیز گفته می‌شود، روشی برای محاسبه احتمال وقوع دو یا چند رویداد مستقل است.
رویدادهای مستقل رویدادهایی هستند که وقوع یکی از آنها بر احتمال وقوع دیگری تاثیری ندارد. به عبارت دیگر، دانستن اینکه یک رویداد رخ داده است، اطلاعاتی در مورد احتمال وقوع رویداد دیگر به ما نمی‌دهد.
فرمول قانون ضرب:
فرض کنید A و B دو رویداد مستقل باشند. احتمال وقوع هر دو رویداد A و B با ضرب احتمال وقوع A در احتمال وقوع B به دست می‌آید:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
- P(A ∩ B): احتمال وقوع هر دو رویداد A و B
- P(A): احتمال وقوع رویداد A
- P(B): احتمال وقوع رویداد B
مثال ۱:
فرض کنید سکه‌ای را دو بار پرتاب می‌کنیم. احتمال اینکه در هر دو بار شیر بیاید چقدر است؟
در این مثال، A = شیر آمدن در اولین پرتاب و B = شیر آمدن در دومین پرتاب است. از آنجا که پرتاب‌های سکه مستقل از یکدیگر هستند، می‌توانیم از قانون ضرب استفاده کنیم:
P(شیر ∩ شیر) = P(شیر) * P(شیر) = 1/۲ * ۱/۲ = 1/۴
بنابراین، احتمال اینکه در دو بار پرتاب سکه، هر دو بار شیر بیاید ۱/۴ است.
مثال ۲:
در یک جعبه ۱۰ توپ وجود دارد که ۴ توپ آن قرمز، ۳ توپ آن آبی و ۳ توپ آن سفید است. یک توپ به طور تصادفی از جعبه برداشته می‌شود و دوباره بدون جایگزینی در جعبه قرار داده می‌شود. سپس یک توپ دیگر به طور تصادفی برداشته می‌شود. احتمال اینکه هر دو توپ قرمز باشند چقدر است؟
در این مثال، A = برداشتن توپ قرمز در اولین بار و B = برداشتن توپ قرمز در دومین بار است. با این حال، این رویدادها مستقل نیستند، زیرا برداشتن توپ قرمز در اولین بار، تعداد توپ‌های قرمز باقی‌مانده در جعبه را برای انتخاب دوم کاهش می‌دهد.
برای حل این مشکل، می‌توانیم از رویکرد زیر استفاده کنیم:
- احتمال برداشتن توپ قرمز در اولین بار: ۴/۱۰
- پس از برداشتن اولین توپ، ۹ توپ باقی می‌ماند.
- از این ۹ توپ، ۳ توپ قرمز باقی مانده است.
- بنابراین، احتمال برداشتن توپ قرمز در دومین بار: ۳/۹
- با استفاده از قانون ضرب:
P(قرمز ∩ قرمز) = 4/۱۰ * ۳/۹ = 2/۱۵
بنابراین، احتمال اینکه هر دو توپ برداشته شده از جعبه قرمز باشند ۲/۱۵ است.
نکات مهم:
- قانون ضرب فقط برای رویدادهای مستقل قابل استفاده است.
- اگر رویدادها مستقل نباشند، باید از روش‌های دیگری مانند احتمال شرطی استفاده کرد.
- قانون ضرب کاربردهای زیادی در آمار و احتمال، از جمله در محاسبه احتمال وقوع ترکیبات مختلف رویدادها دارد.
منابع مفید:
