رگرسیون خطی تناسب خط

توضیح و مثال جامع برای رگرسیون خطی: تناسب خط

رگرسیون خطی تناسب خط، روشی آماری برای مدل‌سازی رابطه غیرخطی بین دو متغیر است. در این روش، به جای اینکه فرض کنیم رابطه بین متغیرها خطی است، از یک تابع غیرخطی برای نشان دادن این رابطه استفاده می‌کنیم.

فرض کنید: شما می‌خواهید رابطه بین سن و میزان فروش یک محصول را بررسی کنید. در این مثال:

• متغیر وابسته: میزان فروش (میزان کالای فروخته شده)
• متغیر مستقل: سن (سن مشتریان)

چرا رگرسیون خطی تناسب خط؟:

در برخی موارد، رابطه بین دو متغیر خطی نیست. به عنوان مثال، ممکن است با افزایش سن تا حدی میزان فروش یک محصول افزایش یابد و پس از آن با افزایش سن افت کند. در این مورد، استفاده از رگرسیون خطی ساده مناسب نیست زیرا نمی‌تواند این رابطه غیرخطی را به خوبی نشان دهد.

مراحل:

1. انتخاب تابع غیرخطی: اولین قدم انتخاب یک تابع غیرخطی مناسب برای مدل‌سازی رابطه بین دو متغیر است. رایج‌ترین توابع غیرخطی در رگرسیون خطی تناسب خط عبارتند از:
   • مدل چندجمله‌ای: Y = β₀ + β₁X + β₂X² + … + βₙXⁿ
   • مدل نمایی: Y = β₀ * e^(β₁X)
   • مدل لگاریتمی: Y = β₀ + β₁ * log(X)
2. تخمین پارامترها: با استفاده از روش‌های آماری مانند کمترین مربعات خطی، مقادیر پارامترهای مدل غیرخطی را تخمین می‌زنیم.
3. تفسیر نتایج: پارامترهای تخمین زده شده چه چیزی را به ما می‌گویند؟
4. ارزیابی مدل: بررسی می‌کنیم که مدل رگرسیون ما چقدر خوب به داده‌ها ‌انطباق دارد. از شاخص‌هایی مانند R-squared و نمودارهای پراکندگی برای این کار استفاده می‌کنیم.
5. پیش‌بینی: از معادله رگرسیون برای پیش‌بینی میزان فروش برای سن‌های جدید استفاده می‌کنیم.

مثال عددی:

فرض کنید داده‌های ۱۵ مشتری را جمع‌آوری کرده‌ایم:

از مدل چندجمله‌ای درجه دوم برای مدل‌سازی رابطه بین سن و میزان فروش استفاده می‌کنیم:

میزان فروش = β₀ + β₁سن + β₂سن²

با استفاده از روش‌های آماری، مقادیر β₀، β₁ و β₂ را به ترتیب ۸۰، ۵ و -۰.۲ تخمین می‌زنیم.

معادله رگرسیون ما به صورت زیر خواهد بود:

میزان فروش = 80 + ۵ * سن – ۰.۲ * سن²

با استفاده از این معادله، می‌توانیم میزان فروش را برای یک مشتری ۳۵ ساله پیش‌بینی کنیم:

میزان فروش = 80 + (۵ * ۳۵) – (۰.۲ * ۳۵²) = 192.۵