توزیع‌های احتمالی دو جمله‌ای: بررسی جامع با مثال‌های کاربردی
مقدمه:
در حوزه آمار و احتمال، توزیع دو جمله‌ای نقشی محوری ایفا می‌کند. این توزیع به منظور مدل‌سازی تعداد موفقیت‌ها در n آزمایش مستقل برنولی که هر کدام با احتمال ثابت p برای موفقیت روبرو هستند، به کار گرفته می‌شود.
تعریف:
فرض کنید n آزمایش برنولی مستقل با احتمال ثابت p برای موفقیت انجام می‌شود. در این چارچوب، متغیر تصادفی X تعداد موفقیت‌ها در این n آزمایش را نشان می‌دهد. توزیع X به عنوان توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n و p شناخته می‌شود.
فرمول:
احتمال وقوع k موفقیت در n آزمایش با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
P(X = k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)
- nCk: تعداد ترکیب‌های n عنصر k به k تا.
- p^k: احتمال وقوع k موفقیت.
- (۱-p)^(n-k): احتمال وقوع (n-k) عدم موفقیت.
مثال:
در نظر بگیرید سکه‌ای را ۵ بار پرتاب می‌کنیم. هدف، محاسبه احتمال حصول ۲ بار شیر است.
در این مثال، مقادیر n، p و k به ترتیب برابر با ۵، ۰.۵ و ۲ هستند. با جایگزینی این مقادیر در فرمول فوق، به نتیجه زیر می‌رسیم:
P(X = 2) = (5C2) * 0.5^2 * (1-0.5)^(5-2) = 10 * 0.25 * 0.25 = 0.625
بنابراین، احتمال اینکه ۲ بار در ۵ بار پرتاب سکه شیر بیاید ۰.۶۲۵ یا به عبارتی ۶۲.۵ درصد است.
خواص:
- میانگین: μ = np
- واریانس: σ^۲ = np(1-p)
- انحراف معیار: σ = √[np(1-p)]
- گسسته بودن: X تنها می‌تواند مقادیر ۰، ۱، ۲، …, n را بگیرد.
کاربردها:
توزیع دو جمله‌ای در زمینه‌های مختلفی از جمله موارد ذیل کاربرد دارد:
- آزمایشات پزشکی: تعیین احتمال موفقیت یک درمان جدید.
- کنترل کیفیت: شمارش تعداد محصولات معیوب در یک دسته.
- اقتصاد: مدل‌سازی تعداد مشتریان در یک روز خاص.
- علوم سیاسی: پیش‌بینی نتایج انتخابات.
نمودار توزیع:
شکل نمودار توزیع دو جمله‌ای به مقادیر n و p وابسته است:
- n کوچک: نمودار متقارن‌تر خواهد بود.
- p ≈ ۰.۵: نمودار از تقارن بیشتری برخوردار می‌شود.
- n بزرگ: نمودار به منحنی نرمال نزدیک می‌شود.
مثال‌های اضافی:
- محاسبه احتمال اینکه در ۱۰ پرتاب تاس، حداقل ۳ بار ۶ بیاید.
- تعیین احتمال اینکه در ۲۰ آزمون چندگزینه‌ای، دانش‌آموزی حداقل ۱۵ نمره از ۲۰ نمره را کسب کند.
- مدل‌سازی تعداد تماس‌های تلفنی که یک مرکز تماس در یک ساعت دریافت می‌کند.
