تخمین نقطه‌ای در آمار استنباطی
مقدمه:
آمار استنباطی شاخه‌ای از آمار است که به استنباط پارامترهای ناشناخته‌ی جمعیت بر اساس نمونه‌ای از آن می‌پردازد. یکی از ابزارهای اساسی در آمار استنباطی، تخمین نقطه‌ای است.
تخمین نقطه‌ای چیست؟
فرض کنید می‌خواهیم میانگین قد افراد یک کشور را بدست آوریم. اندازه‌گیری قد تک تک افراد کل کشور غیرممکن است. به جای آن، از تعدادی از افراد نمونه‌گیری می‌کنیم و قد آنها را اندازه‌گیری می‌کنیم. سپس از میانگین قد افراد در نمونه به عنوان “تخمین نقطه‌ای” میانگین قد افراد کل کشور استفاده می‌کنیم.
انواع تخمین‌های نقطه‌ای:
- تخمین‌های آماری: از فرمول‌های آماری برای محاسبه‌ی آنها استفاده می‌شود. به عنوان مثال، میانگین نمونه، واریانس نمونه و ضریب همبستگی نمونه تخمین‌های آماری هستند.
- تخمین‌های گرافیکی: از نمودارها و گرافیک‌ها برای بدست آوردن آنها استفاده می‌شود. به عنوان مثال، میانگین نمونه را می‌توان با رسم نمودار میله‌ای و یافتن نقطه‌ی مرکزی آن تخمین زد.
ویژگی‌های یک تخمین نقطه‌ای خوب:
- بی‌طرفی: به طور متوسط، برآورد نقطه‌ای باید برابر با پارامتر واقعی باشد.
- کارایی: برآورد نقطه‌ای باید تا حد ممکن به پارامتر واقعی نزدیک باشد.
- سازگاری: با افزایش حجم نمونه، دقت تخمین نقطه‌ای باید افزایش یابد.
مثال:
فرض کنید می‌خواهیم میانگین وزن دانش‌آموزان یک مدرسه را تخمین بزنیم. از ۳۰ دانش‌آموز به طور تصادفی نمونه‌گیری می‌کنیم و وزن آنها را اندازه‌گیری می‌کنیم. میانگین وزن در نمونه ۶۵ کیلوگرم است.
میانگین نمونه (۶۵ کیلوگرم) یک تبرآورد نقطه‌ای برای میانگین وزن واقعی دانش‌آموزان در مدرسه است.
نقاط قوت و ضعف تخمین نقطه‌ای:
نقاط قوت:
- ساده و قابل فهم هستند.
- محاسبه‌ی آنها آسان است.
- برای مقایسه‌ی پارامترها در بین گروه‌های مختلف مفید هستند.
نقاط ضعف:
- به تنهایی اطلاعات کاملی در مورد پارامتر ارائه نمی‌دهند.
- تحت تأثیر خطای نمونه‌گیری هستند.
- برای درک دقیق‌تر، باید به همراه “فاصله‌ی اطمینان” یا “سطح خطا” استفاده شوند.
فاصله‌ی اطمینان:
فاصله‌ی اطمینان بازه‌ای از مقادیر است که با احتمال مشخصی، پارامتر واقعی را در بر می‌گیرد. به عبارت دیگر، با اطمینان مشخصی می‌توان گفت که پارامتر واقعی در این بازه قرار دارد.
سطح خطا:
سطح خطا حداکثر مقداری است که برآورد نقطه‌ای با احتمال مشخصی از پارامتر واقعی انحراف دارد.
کاربردهای تخمین نقطه‌ای:
- در “آزمون فرضیه‌ها“: برای تعیین اینکه آیا یک فرضیه آماری خاص در مورد پارامتر جمعیت درست است یا خیر، استفاده می‌شود.
- در “برآورد بازه‌ای”: برای بدست آوردن بازه‌ای از مقادیر که با احتمال مشخصی، پارامتر واقعی را در بر می‌گیرد، استفاده می‌شود.
- در “طراحی نمونه”: برای تعیین تعداد نمونه مورد نیاز برای بدست آوردن برآورد نقطه‌ای با دقت مشخص، استفاده می‌شود.
