آزمون فرضیه Z

آزمون فرضیه آزمون Z چیست؟

آزمون Z، که به عنوان آزمون نرمال استاندارد نیز شناخته می شود، یک روش آماری برای تعیین اینکه آیا میانگین یک نمونه از داده ها به طور معنی داری با یک مقدار مشخص (فرضیه) متفاوت است یا خیر، به کار می رود. این آزمون بر پایه توزیع نرمال بنا شده است و از آن برای بررسی فرضیه های مختلف در مورد پارامترهای جامعه مانند میانگین یا نسبت ها استفاده می شود.

فرضیه های آزمون Z:

• فرضیه صفر (H0): میانگین نمونه با مقدار مشخص (μ) برابر است.
• فرضیه جایگزین (H1): میانگین نمونه با مقدار مشخص (μ) برابر نیست.

کاربردهای آزمون Z:

• مقایسه میانگین یک نمونه با یک مقدار مشخص
• مقایسه میانگین دو نمونه
• بررسی نسبت ها در یک نمونه

مراحل انجام آزمون Z:

1. تعریف فرضیه های صفر و جایگزین: مشخص کردن مقدار مشخص (μ) و بیان فرضیه ها به صورت دقیق.

2. محاسبه آماره آزمون Z: از فرمول زیر برای محاسبه آماره آزمون Z استفاده می شود:

   Z = (x̄ - μ) / (σ / √n)
   

   در این فرمول:

   • x̄: میانگین نمونه
   • μ: مقدار مشخص (فرضیه)
   • σ: انحراف معیار جامعه (فرض می شود شناخته شده است)
   • n: حجم نمونه

3. محاسبه مقدار p: با استفاده از آماره Z و توزیع نرمال، مقدار p را می توان محاسبه کرد. مقدار p نشان دهنده احتمال مشاهده آماره Z یا آماره ای extremer در صورتی است که فرضیه صفر درست باشد.

4. تفسیر نتایج:

   • اگر مقدار p کمتر از سطح معنی داری (α) باشد، فرضیه صفر رد می شود. این بدان معناست که شواهد کافی برای رد فرضیه صفر و نتیجه گیری در مورد وجود تفاوت معنی دار بین میانگین نمونه و مقدار مشخص وجود دارد.
   • اگر مقدار p بیشتر از سطح معنی داری (α) باشد، فرضیه صفر پذیرفته می شود. به این معنی که شواهد کافی برای رد فرضیه صفر و نتیجه گیری در مورد عدم وجود تفاوت معنی دار بین میانگین نمونه و مقدار مشخص وجود ندارد.

مثال کاربردی:

فرض کنید میانگین نمرات امتحان نهایی آمار در یک کلاس 75 و انحراف معیار 10 باشد. معلم این کلاس فرض می کند که با اعمال روش های جدید تدریس، میانگین نمرات دانش آموزان در امتحان نهایی بعدی به 80 افزایش یابد. برای بررسی این فرضیه، 20 دانش آموز به صورت تصادفی انتخاب شده و نمرات آنها در امتحان نهایی بعدی ثبت می شود. میانگین نمرات این گروه 82 و انحراف معیار آنها 8 است.

آیا روش های جدید تدریس بر نمرات دانش آموزان تاثیر معنی داری گذاشته است؟

حل:

1. تعریف فرضیه های صفر و جایگزین:

   • H0: μ = 75 (میانگین نمرات در امتحان نهایی بعدی 75 است)
   • H1: μ ≠ 75 (میانگین نمرات در امتحان نهایی بعدی با 75 متفاوت است)

2. محاسبه آماره آزمون Z:

   Z = (82 - 75) / (10 / √20) = 0.89
   

3. محاسبه مقدار p: با استفاده از توزیع نرمال و آماره Z 0.89، مقدار p برابر با 0.184 است.

4. تفسیر نتایج:

   • سطح معنی داری را 0.05 در نظر می گیریم.
   • از آنجا که مقدار p (0.184) بیشتر از سطح معنی داری (0.05) است، فرضیه صفر پذیرفته می شود.

نتیجه:

با توجه به این که مقدار p بیشتر از سطح معنی داری است، شواهد کافی برای رد فرضیه صفر و نتیجه گیری در مورد وجود تفاوت معنی دار بین میانگین نمرات گروه نمونه و میانگین نمرات کل کلاس (75) وجود ندارد.